高斯光束傳播

許多激光光學應用都假設激光束是高斯光束，其輻照度分布符合理想高斯分布。其實，所有實際的激光束都會與理想高斯行為有一些偏差。M²因子（也稱為光束質量因子）比較真實激光束和衍射極限高斯光束的性能。¹ 高斯輻照度分布以光束中心為軸對稱，并且隨著光束中心與傳播方向垂直距離的增加而減?。?em>圖 1）。該分布由公式 1² 描述：

在等式 1中，I0 為光束中心處的峰值輻照度，r 為離軸的徑向距離，w(z) 為激光束的半徑，輻照度為 I0 的 1/e2 (13.5%)，z 為波前為平面時從平面傳播的距離，P 為光束的總功率。

圖 1: 高斯光束的束腰定義為輻照度為其大值 1/e2 (13.5%) 的位置

不過，當光束在空間中傳播時，這種輻照度剖面并不保持恒定，因此w(z) 依賴于z。由于衍射作用，高斯光束會從束腰 (w0) 區域收斂并發散，而束腰 (w0) 區域是光束直徑達到小值的地方。光束收斂和發散都在束腰兩端發散角 θ 范圍內（圖 2）。束腰和發散角均從坐標軸上測量，其關系如公式 2 和公式 3 所示2：

在上面的等式中，λ 是激光的波長，θ 是遠場近似值。因此，θ 不能準確反映束腰附近的發散，但與束腰的距離越遠，它便更準確。由公式 3 可知，束腰越小，發散角越大；束腰越大，發散角越小（或者光束越直）。這就解釋了為什么激光擴束鏡可以通過增加光束直徑來減小光束發散。

 圖 2: 高斯光束通過其束腰 (w0)、瑞利長度 (zR) 和發散角 (θ) 定義

束腰區域光束直徑的變化定義為:

高斯光束的瑞利長度定義為 z 值，此長度是光束橫截面積為束腰兩倍的位置。w(z) 增加至 √2w0. 時會發生這種情況。利用公式 5，瑞利長度 (zR) 可以表示為

這使得 w(z) 也與 zR 相關:

束腰處的激光波前是平面，相對束腰區域的距離增加時，波前會再次成形。這是因為波前曲率半徑開始接近無窮大。波前的曲率半徑從束腰處的無窮大減小到瑞利長度處的小值，在遠離激光器時重新回到無窮大（圖 3）；束腰兩端都是如此。³

圖 3: 當高斯光束離束腰非常近和非常遠時，其波前曲率接近于零

高斯光束處理

許多激光光學系統需要處理激光光束，而不是簡單地使用“原始”光束。這可以通過使用光學組件（如透鏡、反射鏡、棱鏡等）實現。下面是一些常見的高斯光束使用指南。

高斯光束的薄透鏡公式

理想薄透鏡的性能可以采用以下公式描述2:

在 公式 8 中，s’ 是透鏡到圖像的距離，s 是透鏡到物體的距離，f 是透鏡的焦距。如果物體和圖像在透鏡的相對兩側，則 s 為負值，s’ 為正值。該公式忽略了真實透鏡的厚度，因此只是實際情況的簡單近似（圖 4）。薄透鏡公式也可以采用無因次形式表示，即公式兩邊同時乘以 f:

圖 4: 薄透鏡公式能夠在已知透鏡到物體的距離 (s) 和透鏡的焦距(f) 時確定圖像的位置 (s’ )

除了描述成像應用外，薄透鏡等式還適用于高斯光束的聚焦，將輸入光束的束腰作為物體，輸出光束的束腰作為圖像。高斯光束經過無像差的理想透鏡后，仍然是高斯光束。1983 年，Sidney Self 開發了一種計算高斯傳播的薄透鏡公式4:

通過將 s 的值與 s’ 相加，計算激光器到聚焦點的總距離。公式 10也可以采用無因次形式表示，即等式兩邊同時乘以 f:

當 zR/f 趨于 0 時，這個等式接近標準的薄透鏡公式，允許將標準薄透鏡公式用于長焦距透鏡。通過透鏡成像后，可以使用公式 10 和11 找到束腰的位置（圖 5）。

圖 5: 高斯光束重聚焦時的“物體”為輸入束腰，“圖像”為輸出束腰

標準化圖像距離 (s’/f ) 與標準化物體距離 (s/f ) 的對比圖顯示給定標準化瑞利長度 (zR/f) 下可能的輸出束腰位置（圖 6）。這張圖表明通過透鏡聚焦的高斯光束與傳統的薄透鏡成像相比有幾個關鍵的區別。高斯光束成像具有小和大的可能成像距離，而傳統的薄透鏡成像沒有。重新聚焦的高斯光束的大成像距離位于距物體 -(f + zR) 處，而不是 –f 處。圖中 s/f = -1 和 s’/f = 1 的點表示如果輸入在凸形透鏡的前焦點處，輸出束腰將在透鏡的后焦點處。

圖 6: zR/f=0 的曲線對應于傳統的薄透鏡公式。zR/f>0 的曲線表 明，高斯成像具有瑞利長度所定義的小和大成像距離

為了理解光束穿過透鏡后的束腰和瑞利長度，需要知道系統的放大倍率 (α)，其計算公式為:

其中 w0 為透鏡前束腰，w0’ 為透鏡后束腰。然后可以改寫高斯光束的薄透鏡公式，以包括透鏡后光束的瑞利長度 (zR'):

如果透鏡在束腰處(s=0)，上述公式將失效。放大倍數常量平方值的倒數可以用來關聯束腰的大小和位置3:

將高斯光束聚焦到一個點上

In many applications, such as laser materials processing or surgery, it is highly important to focus a laser beam down to the smallest spot possible to maximize intensity and minimize the heated area. In cases such as these, the goal is to minimize w₀' (Figure 7). A modified version of Equation 14 may be used to identify how to minimize the output beam waist³:

Figure 7: 將激光束聚焦到盡可能小的尺寸對于包括這種激光切割裝置在內的廣泛應用至關重要

兩邊同時乘以方程左邊的分母，然后再乘以 (w0')2后，公式 15 變成:

Solving for w0' results in:

可以通過減少透鏡焦距和 |s|-f 來盡可能縮小聚焦束腰。公式 18 中w0 旁邊的參數被定義為另一種形式的放大倍率常數 α，用于比較入射光束和經過透鏡后的輸出光束的值（圖 8）.3

圖 8: 對于放大倍率 2，輸出束腰將是輸入束腰的兩倍，輸出發散將是輸入光束發散的一半

There are two limiting cases which further simplify the calculations of the output beam waist size and location: when s is much less than zR or much greater than zR.3 When the lens is well within the laser’s Rayleigh range, then s << zR and (|s|-f)2<〖z_R〗2. Equation 19 simplifies to:

這也簡化了輸出光束的束腰、發散度、瑞利長度和束腰位置的計算:

當 s >> zR 時，透鏡到聚焦點的距離等于透鏡的焦距。

另一種限制情況是，透鏡距離瑞利長度和 s >> zR 很遠，公式 19 將簡化為:

這使輸出束腰直徑等于:

與 s << zR 時相同，輸出束腰、發散度、瑞利長度和束腰位置的計算也簡化了:

s >> zR, 時，從透鏡到聚焦點的距離等于透鏡的焦距。

這兩個結果都具有直觀意義，因為在束腰處和離束腰很遠的位置，光束的波前都近似平面。在這些位置，光束幾乎*平行（圖 9）。根據標準的薄透鏡公式，準直輸入的成像距離等于透鏡的焦距。

圖 9: 如果輸入光束束腰離透鏡很近或很遠，高斯光束經過透鏡后，其聚焦位置就會位于透鏡的焦點上。這是因為輸入光束在這些點上近似平行

高斯焦距變換

Counterintuitively, the intensity of a focused beam in a target at a fixed distance (L) away from the lens is not maximized when the waist is located at the target. The intensity on the target is actually maximized when the waist occurs at a location before the target (Figure 10). This phenomenon is known as Gaussian focal shift.

圖 10: 目標處的光束半徑在聚焦光束的束腰出現在目標前的特定位置，而不是目標處時達到小值

本文未涵蓋詳細的推導，但目標的光束半徑可以通過以下表達式描述:5:

區分關于聚焦透鏡的焦距 (f) 的公式 34，并求出 d⁄df [wL (f )]=0 時的 f 可以得到透鏡焦距，從而使目標位置的光束半徑小，因而強度大。

當|s|趨近于零或無窮大時，f = L 時 d⁄df [wL (f )]=0。在這兩種情況下，輸入光束都近似準直光，因此可以得出小光束半徑將出現在透鏡的焦點上。

準直高斯光束

在發散度為 0 的情況下無法實現真正的準直光束，但可以通過小化發散度或大化觀察點與近束腰之間的距離來實現近似準直光束。由于輸出發散度與放大倍率常數 α 成反比，因此輸出發散在|s|= f時達到小值（圖 11）。

圖 11: 要對高斯光束進行準直，束腰到準直透鏡的距離應該等于透鏡的焦距

參考文獻

1. Paschotta, Rüdiger. Encyclopedia of Laser Physics and Technology, RP Photonics, October 2017.
2. “Gaussian Beam Optics.” CVI Laser Optics, IDEX Optics & Photonics.
3. O'Shea, Donald C. Elements of Modern Optical Design. Wiley, 1985.
4. Self, Sidney A. “Focusing of Spherical Gaussian Beams.” Applied Optics, vol. 22, no. 5, Jan. 1983.

Katz, Joseph, and Yajun Li. “Optimum Focusing of Gaussian Laser Beams: Beam Waist Shift in Spot Size Minimization.” Optical Engineering, vol. 33, no. 4, Apr. 1994, pp. 1152–1155., doi:10.1117/12.158232.